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RegressionsanalyseÜber die Regressionsanalyse erfolgt die Anpassung einer Funktion an die Werte einer Messreihe. Dadurch wird eine statistische Glättung der Messwerte erreicht. Anschließend können durch Interpolation und Extrapolation neue Werte mit der gebildeten Funktion errechnet werden. |
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| Durch dieses Modell können mit dem beliebige Wertepaare durch eine Linearkombination quasi beliebiger lineare und nichtlineare Terme approximiert werden. | ||
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Lupe 90% 100% 140% |
Bedienung | Werte | Transformation | Koeffizienten | Interpolation | Anwendung | |
| Regressionsanalyse | Durch die Regressionsanalyse werden für die angegebenen Wertepaare die Koeffizienten berechnet sowie die Funktion und die Standardabweichung. Anschließend können beliebige neue Werte berechnet werden. | |
| Interpolation und Extrapolation |
Hier kann eine komplette Wertetabellen erstellt werden, auch zum direkten Exportieren in ein anders Programm. Wertebereich, Genauigkeit und Ausgabeformat können eingestellt werden. |
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| Bedienung |
Geben Sie im linken Feld beliebig viele Wertepaare ein.
Im rechten Feld werden zeilenweise jene Terme eingegeben, aus denen sich per Linearkombination die Regressionskurve zusammensetzen soll. Aus dem Listenfeld unter dem mittleren Eingabefeld können diverse Standardfunktionen und -terme gewählt werden, was etwa bei Polynomen die Schreibarbeit erspart. Nach Festlegen von Werten und Funktionen die Schaltfläche [Regression] klicken, um die Analyse durchzuführen. Das Regressionsmodell errechnet die Linearkombination aus den angegebenen Funktionstermen mit der minimalen Abweichung zwischen den gegebenen y-Werten und den berechneten Funktionswerten. Im Feld der Regressionskoeffizienten und -funktion wird das Ergebnis angezeigt. Nach dieser Analyse können im Feld darunter beliebige Funktionswerte berechnet werden. |
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| Wertepaare x y |
Im Wertefeld können die Wertpaare fortlaufend in der Form x1 y1 x2 y2 x3 y3 ... oder auch zeilenweise eingegeben werden: x1 y1 x2 y2 x3 y3 ... Während der Regressionsanalyse wird das Eingabefeld in diese zeilenweise Form standardisiert, und die Wertepaare werden zusätzlich automatisch nach steigenden x-Werten sortiert. Als Trennzeichen zwischen den Werten sind zulässig: Leerzeichen, Semikolon, Tabulator, senkrechter Strich |, Schrägstrich / und Zeilenvorschub. Eine sinnvolle Approximierung kann in der Regel nur gefunden werden, wenn mindestens so viele Wertepaare vorliegen, wie Koeffizienten von Teilfunktionen bestimmt werden sollen. Zum Ausprobieren gibt es die Möglichkeit, per Zufallsgenerator Wertepaare erzeugen und anzeigen zu lassen. Diese liegen zwischen -10 und 10. Da sie wahllos und im Mittel gleichmäßig in diesem Quadrat verteilt liegen, dient diese Funktion eigentlich nur der Veranschaulichung. |
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| Transformation |
Im Feld Terme werden die gewünschten Teilfunktionen für die Transformation der Variablen zeilenweise eingegeben.
Einige Standardfunktionen lassen sich auch durch das Listenfeld unterhalb des Eingabefeldes auswählen und automatisch eintragen. "Polynom 5" bedeutet dabei: Polynom vom fünften Grad, bei der die Koeffizienten (a, b,d, d, e, f) dieser Funktion bestimmt werden: Die in das Fenster einzugebenden Teilfunktionen sind dabei x5, x4 usw. Ein linearer Summand, d.h. ein einzelner, konstanter Koeffizient in der Funktion ohne x, wie in diesem Beispiel der letzte Koeffizient f, kann durch den eingegebenen Term "1" berechnet werden. a·x5 ist das a-fache von x5, und f ist das f-fache von 1. Das Modell beherrscht die Grundrechenarten + - * /, einschließlich der Potenzierung ^, sowie die Funktionen sin, cos, tan, ln oder log, exp, sqr, atan, asin, acos, int (Ganzzahl), abs (Absolutwert). Zu verwendenden ist der BASIC-Syntax. Bei Eingabe von JavaScript- oder C-Syntax, führt das zu Fehlern, da die Eingaben intern umgewandelt werden, z.B. von x^2 in Math.pow(x,2) oder von sqr(x) in Math.sqrt(x). Die Eingabe Math.sqrt(x) würde umgewandelt in Math.Math.sqrtt(x). Mit pi und e stehen auch Konstanten zur Verfügung. Beliebig verschachtelte Klammerungen werden aufgelöst. Doch dürfen nur runde Klammern, verwendet werden, z.B.: log(x^(10/(2,56-sin(x)))+1). Hinweis: Die vom Programm zu erzeugende und zu berechnende Matrix hat die Größe n × (n+1). Für jedes Feld der Matrix oberhalb der Diagonale muss eine Gauß-Summe mit allen Werten berechnet werden. (Die unteren Felder sind aufgrund der Symmetrie identisch.) Da JavaScript eine interpretierte Sprache ist, müssen dabei jedes Mal die Funktionen neu "übersetzt" werden. Das kann erhebliche Rechenzeit bedeuten. |
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| Regressionskoeffizienten und Regressionsfunktion |
Im Ergebnisfenster erscheinen die Ergebnisse der Regressionsanalyse, die durch den Klick auf die Schaltfläche [Regression] ermittelt werden. Zuerst sind die Linear-Koeffizienten der Einzelfunktionen aufgelistet. Dann folgt die gefundene Funktion, die zur bequemeren Weiterverarbeitung einzeilig ausgegeben wird. Die Koeffizienten werden auf die gewünschten Dezimalstellen gerundet, die im Textfeld unterhalb des Ausgabefensters angegeben ist. Wenn in der Funktion ein Term mit dem Koeffizienten 0 erscheint, so ist dieser in Wahrheit ungleich 0 und wird nur wegen der Rundung nicht angezeigt. Terme mit Koeffizienten gleich 0 (genauer: mit Betrag kleiner als 10-12) werden ausgelassen.
Vorsicht: Bei Termen, die in oberster Priorität Summen oder Differenzen sind, wie x+1 oder sin(x)-1, müssen in manchen Fällen Klammern ergänzt werden, bevor der Ausdruck weiterverwendet werden kann, wenn dieser fehlerhaft, beispielsweise: Dann wird die Standardabweichung (Sigma s) ausgegeben, also der mittlere Fehler zwischen den gegebenen y-Werten und den berechneten f(x)-Werten. Zueltzt wird die Liste der berechneten Funktionswerte zu allen gegebenen x-Werten ausgegeben. Je kleiner der Wert der Standardabweichung, desto besser schmiegt sich die Regressionskurve an die gegebenen Werte an. Die Analyse schlägt fehl, wenn z.B. Funktionen verwendet werden, die für die gegebenen x-Werte nicht definiert sind, beispielsweise asin(2), log(0) oder sqr(-1). In diesem Fall erscheinen statt der Koeffizienten die Kürzel NaN für "Not a Number". |
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| Interpolation | Unterhalb des Ergebnisfensters steht ein Feld zur Verfügung, in das nach erfolgter und erfolgreicher Regressionsanalyse x-Werte eingegeben werden kann, um das entsprechende f(x) zu berechnen. Auch hier hängt die Rundung des Ergebnisses von der Angabe der gewünschten Dezimalstellen ab. | |
| Anwendung | Die Regressionsanalyse ist eine statistische Methode, die auch für Anwendungen im Sport geeignet ist. Zum Beispiel bei der Prognose genauer Laufzeiten... | |
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